atlas - 鈴木エドワードアーカイブ

8.数字にまつわる不思議な話：黄金比

Mon, 06 Feb 2012 00:00:01 +0900

　前回、フィボナッチ数列を紹介しました。その中で、自然界のデザインにフィボナッチ数列があるのは偶然ではない、と断言しました。今回は、その根拠について説明します。

0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377......

　このフィボナッチ数列の数字を1つ前の数字で割ってみましょう。

1÷1、2÷1、3÷2、5÷3、8÷5、13÷8、21÷13、34÷21......

　すると、次のような数列ができます。

1、2、1.5、1.666...、1.6、1.625、1.615...、1.618...

　ここで、注目してほしいのは、右にいくに従って「1.618」に近づいていくということです。この1.618が、今回の主役です。勘のいい方なら、ピンとくるでしょう。そう、1：1.618が、黄金比（golden ratio）と呼ばれる比率で、この世の中で最も安定し、美しい比率とされています。
　次に、フィボナッチ数列から任意に2つの数字A、Bを選びます。AとBを足した数字をCとします。続けて、フィボナッチ数列と同じプロセスで最後の2つの数字を足していきます。

　ここで、D÷C、E÷D......と1つ前の数字で割っていきます。得られる答えは、フィボナッチ数列のときと同様、1.618に近づいていきます。
　これらの結果から、フィボナッチ数列と黄金比の関連性が証明されます。

パルテノン神殿と黄金比の関係

　次に黄金比について考察します。黄金比の発見は古く、すでに古代ギリシャで発見されていたと言われています。黄金比はPHI（ファイ）もしくはφ（ファイ）で表すのが一般的ですが、由来は古代ギリシャの建築家・彫刻家のフィディアス（Phidias、Φειδίας）です。フィディアスは、世界遺産にもなっているパルテノン神殿の建設を指導した人物です。今で言う、設計者ですね。そして、近年、多くの研究結果により、パルテノン神殿は黄金比に基づいて設計されていることが証明されようとしています。例えば、神殿の縦横の比率が黄金比に近いことが確認されており、これは斜めから神殿を眺めたとき、最も美しく映るように計算されたとの説が一般的です。
　黄金比もフィボナッチ数列と同様、自然界のデザインや歴史的な美術品の中に潜んでいます。最も身近な一例では、私たちの身体があります。顔の眉毛を境目に上の長さをA、下をBとしたとき、一番、バランスのいい顔立ちはB／Aが1.618つまり黄金比になります。身体では、へそを境目に上をA、下をBとしたときのB／A、手首から先をA、手首からひじをBとしたときのB／Aのそれぞれの比率が1.618に近づけば近づくほど、プロポーションがいいと言われています。

　これを踏まえて、古代ギリシャの彫刻、ミロのヴィーナス（アフロディーテ像）を考察した研究があります。1820年、エーゲ海のメロス島で発見されて以来、美の象徴として広く認知されている女神像で、現在はパリのルーブル美術館に展示・管理されています。あるとき、ミロのヴィーナスのへそを境目に上と下の比率を調べたところ、見事に黄金比と一致しました。すなわち、約2世紀の長い年月にわたって、多くの人々を魅了したミロのヴィーナスのプロポーションは、黄金比で構成されていたわけです。残念ながら、ミロのヴィーナスは両腕が損失しています。発見当時から復元が試みられていますが、資料不足などの理由により実現していません。もし、両腕があったならば、手首から先と手首からひじまでの比率は、もちろん、黄金比で間違いでしょう。
　とはいえ、パルテノン神殿やミロのヴィーナスを鑑賞する機会は、そうそうありません。そんな状態で、「黄金比は美しい」と言われてもピンとこないでしょう。なかには、「パルテノン神殿やミロのヴィーナスは芸術品であり、人間の創造の産物である。現実的にミロのヴィーナスのようなプロポーションの女性は存在しない」という方もいるでしょう。しかし、待ってください。目を凝らして身の回りや自然界を見てみましょう。すると、いたるところに黄金比が隠れていることが分かります。
　ビジネスマンが交換する名刺。最近は個性的な形状の名刺も少なくありませんが、よく目にする名刺は長方形ですね。この縦と横の比率が黄金比になるようにデザインされています。同様に、クレジットカードやキャッシュカードなども、黄金比でデザインされています。そう考えて、改めて名刺やカードを眺めてみると、不思議と安心感を覚えませんか？

自然界に潜む黄金比

　自然界に目を移すと、魚類がそうです。水中を高速で泳ぐために無駄を省いた流線型の形状を調べると、ほとんどの魚類がところどころに黄金比を持っていることが分かります。空を飛ぶ蝶。これも身体のあちこちに黄金比があります。さらに言えば、人間よりもはるか昔に地球上を闊歩した恐竜。これもまた、身体部分の比率は黄金比で構成されています。
　また、動物に限らず、植物にも黄金比は隠れています。旧約聖書に登場する禁断の果実は、リンゴとして描かれることが多いですね。そのリンゴの芯は、正五角形となっており、辺と対角線の比は黄金比で、対角線と対角線が交わるポイントも対角線を黄金比で分けています。

　話は少し横道にそれますが、正三角形をモジュールに構成するフラードームは、見方を変えれば、正三角形5個で構成する五角形を一つのモジュールと見ることができます（一部、ジョイントして正六角形がありますが）。フラードームが構造的に強く安定して、かつ美しい姿をしているのも、正五角形の中に黄金比が秘められているからではないでしょうか。もっとも、黄金比が潜んでいるのは、正五角形だけに限った現象ではありません。プラトンが著作に残したことから「プラトンの正多面体」と呼ばれる正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の中にも、黄金比が潜んでいます。
　結局、黄金比は人間が創造した比率ではなく、最も安定して美しい比率として、太古から自然界に存在する比率と考えられます。人間は、それをあるときは芸術という形で表現し、あるときは数字という形で可視化しただけに過ぎません。ですから、フィボナッチ数列や黄金比が自然界のデザインに多く見られるのは、偶然ではなく必然だと言えるでしょう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　◆次回更新は2月20日の予定です

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8.数字にまつわる不思議な話：フィボナッチ数列

Mon, 23 Jan 2012 00:00:01 +0900

　さて、今回のテーマは、数字です。これから、数字にまつわる不思議で、興味深い話をしましょう。
　すでに、私たちの生活の一部となっているコンピュータ。さぞ、高度な思考回路が構築されていると思われていますが、そうではありません。コンピュータの命令コードは、人間の脳のように曖昧さを表現・認識することは不得手です。では、どうなっているかといえば、二進法、つまり0と1で構築されています。単純にいえば、コンピュータの内部は、「0」＝「ない」、「1」＝「ある」の2つしかない世界なのです。
　以前、私の建築テーマの遷移について話した折、二重性にも触れましたが、コンピュータの内部における「0」と「1」も、また二重性の関係にあると言えるでしょう。
　この「0」と「1」に注目した数学者がいました。これから紹介するのは、イタリアの数学者、レオナルド・フィボナッチ（1170年ごろ～1250年ごろ）の著書に記された数列の話です。現在、フィボナッチは、中世でも指折りの才能を持った数学者として認知されています。
　1202年、フィボナッチは、算術に関する著書『算盤の書』を出版しました。同書は、アラビア数字をヨーロッパに初めて紹介した書物として歴史的にも価値が高く、フィボナッチの功績の一つに挙げられています。この『算盤の書』のなかで、0と1から始まる不思議な数列を紹介しています。それが、いわゆる「フィボナッチ数列」と呼ばれるものです。

　これがフィボナッチ数列です。
0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377......

　一見、不規則な数字の羅列のようですが、どの数字も前の2つの数字の和になっています。

　不思議なことは、このフィボナッチ数列が、自然界のデザインに多く見られることです。たとえば、樹木の枝別れ。樹木が成長し、1本の幹から1本の枝が生まれます。その後、成長するにつれて、幹から枝が生まれると同時に先に生まれた枝も枝分かれしていきます。その様子を定点観察しますと、その数は1、2、3、5、8、13......となり、フィボナッチ数列となります。
　また、花びらの枚数。どんな花であっても、花びらの枚数はほとんどフィボナッチ数列になります。さらに植物の葉のつき方、いわゆる葉序もフィボナッチ数列になっていることが、多くの研究者によって確認されています。きっと、皆さんの回りにある自然にも、フィボナッチ数列が隠れているはずです。
　もっと言えば、フィボナッチ数列は、人間の発明品にも見ることができます。ピアノを思い浮かべてください。白鍵と黒鍵の鍵盤で構成されていますね。よく見ると、ドレミファソラシドの8鍵の白鍵の間に黒鍵が5鍵あります。白鍵と黒鍵の合計は13です。さらに、黒鍵は2鍵と3鍵に分かれて配置されています。8、5、13、2、3......いずれもフィボナッチ数列です。
　花びらや葉序など自然界のデザイン、そしてピアノの鍵盤。これらが、フィボナッチ数列と一致するのは偶然でしょうか？　いや、そうではありません。
　次回は、フィボナッチ数列に隠された秘密を解き明かしたいと思います。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　◆次回更新は2月6日の予定です

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7.水と原子：アトメトリックス②

Tue, 10 Jan 2012 00:00:01 +0900

　しかし、すんなりと掲載というわけにはいきませんでした。とにかく、不確定性原理によって原子のモデル化はナンセンスとされており、ある意味ではタブーでもあったからです。それでも、審査員に根気強く説明し続けた結果、ようやく5年後の2002年に半分だけ掲載されました。「ここまできたら、残り半分もすぐに掲載されるだろう」と安心しましたが、残り半分の審査にも5年かかり、掲載されたのは2007年でした。なぜなら、審査員が前回と全部入れ替わったからでした。実に10年の歳月をかけて一つの論文を発表したことになります。

ダイヤモンドを超えるダイヤモンド!?

　そんな経緯があって発表したアトメトリックスの論理ですが、はたしてどれくらいの科学者、物理学者、化学者が読んでくれたかは分かりません。ただ、目にした科学者、物理学者、化学者の90％以上は、まともには相手をしてくれなかったでしょう。何しろ、不確定性原理に逆らって、タブー視されている原子のモデル化に関する内容です。だから、発表後、マスメディアに大きく取り上げられて「科学界に一石を投じた」などといった展開はありませんでした。
　それでも、私は満足しています。アトメトリックスによるモデル化は、量子力学に比べると単純明快です。だからこそ、真実に近いと思います。私は建築家ですので、構造に関しては、いささか精通していると自負しています。建築家の観点から、アトメトリックスのモデルを判断すれば、非常に単純明快であるがゆえ、いろんなことが分かり、説明できます。また、『FORMA』で発表した論文は、「アトメトリックス」は分子構造の関係性を明らかにするだけでなく、あらゆる予測にも寄与すると展開しました。そして、最後に、いくつかの存在しない分子のモデルを作り、「まだ発見されていないが、自然界もしくは実験・研究によって人工的に作られる分子があるのではないか」と締めくくりました。
　今だから言えますが、当時、私の理論では、今のダイヤモンドの2倍の密度を持つダイヤモンドが存在する可能性がアトメトリックスのモデルから予測できました。しかしながら、「水の記憶事件」ではありませんが、こんなことを論文で発表すると審査段階で物儀を醸して論文の掲載そのものが危ぶまれる可能性があったので、あえて発表を控えました。いずれ、機会があれば、ダイヤモンドの分子構造をアトメトリックスのモデル化で解き明かし、さらなる強度を持つダイヤモンドの存在の可能性を指摘したいと思っています。

建築家がDNAを研究していたら...

　量子力学は、1925年に基礎が考察され、1927年の不確定性原理によって確立しました。以降、原子や分子の構造のモデリングはナンセンスとされてきました。ところが、1953年、アメリカの分子生物学者であるジェームズ・ワトソンと、イギリスの科学者であるフランシス・クリックがDNAの二重らせん構造を解明します。この20世紀最大の発見と言われる研究のプロセスを見ますと、塩基などの分子模型とX線回折の写真を参考にして、既知の情報に矛盾しない構造をモデルリングした結果、たどりついています。同時、すでに量子力学の基礎が確立していましたが、"ナンセンス"との烙印を押されたモデリングが世紀の大発見を導いたのです。つまり、私は、なぜ、こうした実績があるにもかかわらず、モデリングを否定するか、と言いたいわけです。余談になりますが、もし、分子生物学者や科学者ではなく、建築家がDNAの構造解明に参加していたら、どうなっていたでしょう？　あくまでも、いち建築家の持論に過ぎませんが、次のように思ったりもします。
「2次元で考察する化学者・科学者よりも、立体的な考察に慣れている建築家が参加していたなら発見は早まっていたのでは？」

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　◆次回更新は1月23日の予定です

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